Dreiecke in der Mathematik

Kongruenzsatz

Kongruenzsatz sss
Wenn zwei Dreiecke paarweise in den Längen aller drei Seiten übereinstimmen, dann sind die Dreiecke kongruent zueinander. Entsprechende Winkel sind dann auch gleich groß.

Kongruenzsatz sws
Wenn zwei Dreiecke in den Längen zweier Seiten und der Größe des von den beiden Seiten eingeschlossenen Winkels übereinstimmen, dann sind die Dreiecke kongruent zueinander.
Die Dreiecke stimmen dann auch in der Länge der dritten Seite und in der Größe der beiden anderen Winkel überein.

Kongruenzsatz ssw
Wenn zwei Dreiecke paarweise in den Längen zweier Seiten und der Größe des Winkels, welcher der längeren Seite gegenüberliegt, übereinstimmen, dann sind die Dreiecke kongruent zueinander. Die Dreiecke stimmen auch paarweise in den übrigen Stücken überein.

Kongruenzsatz wsw
Wenn zwei Dreiecke paarweise in der Länge einer Seite und den Größen der anliegenden Winkel übereinstimmen, dann sind die Dreiecke kongruent zueinander. Die Dreiecke stimmen dann auch paarweise in den übrigen Stücken überein.

Winkelsummensatz für Dreiecke
In jedem Dreieck sind die drei Innenwinkel zusammen 180° groß.

α+β+γ=180°

Definition
Ein Dreieck heißt spitzwinklig, wenn jeder der drei Innenwinkel kleiner als 90° ist. Es heißt stumpfwinklig, wenn ein Innenwinkel größer als 90° ist. Es heißt rechtwinklig, wenn ein Innenwinkel 90° groß ist.

Außenwinkelsatz für Dreiecke
In einem Dreieck ist ein Außenwinkel genau so groß wie die beiden nicht anliegenden Innenwinkel zusammen.

Beispiel: α´=β+γ

Gleichschenkliges Dreieck:
Für jedes gleichschenklige Dreieck gilt:

• (a) Die Winkelhalbierende des Winkels an der Spitze ist Symetrieachse des Dreiecks ABC.
• (b) Die Symetrieachse ist die Mittelsenkrechte der Basis.
• (c) Die beiden Basiswinkel sind gleich groß.
  (Basiswinkelsatz)

Gleichseitiges Dreieck:
Ein Dreieck, in dem alle drei Seiten gleich lang sind, heißt gleichseitiges Dreieck.

Satz: 
Eigenschaften des gleichseitigen Dreiecks
Für jedes gleichseitige Dreieck gilt:

• (a) Die Winkelhalbierenden der drei Dreieckswinkel sind Symetrieachsen; sie sind auch die Mittelsenkrechten der Seiten des Dreiecks.
• (b) Alle Winkel sind 60° groß.

Satz des Thales
Wenn der Punkt C eines Dreiecks ABC auf dem Thaleskreis der Strecke
AB liegt, dann ist das Dreieck rechtwinklig mit γ als rechtem Winkel.

Seitenhalbierende
Unter einer Seitenhalbierenden eines Dreiecks versteht man die Verbindungsstrecke eines Eckpunktes mit der gegenüberliegenden Seitenmitte. In einem Dreieck ABC bezeichnen wir die Länge der drei Seitenhalbierenden mit s s s

In jedem Dreieck schneiden sich drei Seitenhalbierenden in einem Punkt S, dem Schwerpunkt des Dreiecks. Der Schwerpunkt S teilt jede Seitenhalbierende in zwei Teilstrecken. Die am Eckpunkt liegende Teilstrecke ist doppelt so lang wie die andere.

Höhe
Eine Gerade, die durch einen Eckpunkt eines Dreiecks geht und die gegenüberliege Seite oder deren Verlängerung orthogonal schneidet, heißt eine Höhe des Dreiecks. In jedem Dreieck schneiden sich die drei Höhen in einem Punkt.

Winkelhalbierende
Gegeben ist ein Winkel α mit dem Scheitel S. Die Halbgerade w mit dem Anfangspunkt S, die den Winkel α in zwei gleich große Teilwinkel zerlegt, nennt man Winkelhalbierende von α.

Mittelsenkrechte
Gegeben ist eine Strecke AB. Unter der Mittelsenkrechten m der Strecke AB versteht man die Gerade, die durch den Mittelpunkt M der Strecke AB geht und orthogonal zu der Strecke AB ist. Wenn ein Punkt P auf der Mittelsenkrechten einer Strecke AB liegt, dann hat er die gleiche Entfernung zu den Punkten A und B.

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