GEOMETRIE-
ABSTANDSBERECHNUNGEN
ABSTAND EBENE - EBENE
E: Ax + By +
Cz − D = 0 F: Ax + By + Cz − E = 0
Abstand nur zu berechnen, wenn es sich um zwei parallele Ebenen
handelt
Länge des Normalenvektors bestimmen [ √A^2 +B^2 + C^3
]
E −D, geteilt durch die Länge des Normalenvektors
Ergebnis = Abstand der beiden parallelen
Ebenen
ABSTAND PUNKT - EBENE
(Möglichkeit 1)
Aus dem Punkt und dem Normalenvektor eine zweite Ebene bilden (diese ist
dann parallel zur Ebene E)
Normalenvektor verknüpft mit x minus Normalenvektor verknüpft
mit Punkt
→ →
→ →
n o x −
n o p
Ebenengleichung aufstellen, dann Abstand zwischen den beiden parallelen
Geraden berechnen (sh. oben)
Ergebnis = Abstand Punkt- Ebene
(Möglichkeit 2)
Hesse’sche Normalenform aufstellen
Dazu Länge des Normalenvektors berechnen
→ →
→
1 / L (
n ) * [( n
) o x
− D] = 0
→
Punkt für x einsetzen
Ergebnis = Abstand Punkt −
Ebene
ABSTAND GERADE -
EBENE
Mit dem Antragspunkt der Geraden und dem Normalenvektor der Ebene eine
Ebenengleichung aufstellen
→
→ → →
n o x − n
o p
Abstand der beiden Ebenen bestimmen
Ergebnis = Abstand Gerade- Ebene
ABSTAND PUNKT -
GERADE
Der Richtungsvektor der Geraden wird als Normalenvektor betrachtet, um
eine Ebenengleichung aufstellen zu können (Also Ebene aus Richtungsvektor
und Punkt aufspannen)
→
→ → →
n o x −
n o p
Schnittpunkt der Geraden mit der Ebene berechnen
Geradengleichung nach r (bzw. der Variablen) auflösen
Einsetzen in die Ebenengleichung
Ergebnis = Schnittpunkt Gerade - Ebene →
→
Vektor aus Schnittpunkt und Punkt bilden ( s - p
)
Länge des Vektors berechnen
Ergebnis = Abstand Punkt - Gerade
ABSTAND
GERADE - GERADE ( gilt nur für parallele Geraden!
)
Mit dem Richtungsvektor von Gerade 1 und dem Antragspunkt von Gerade 2
(oder anders herum) eine Ebenengleichung aufstellen (sh. oben)
Schnittpunkt berechnen (Gerade 1 und Ebene)
weitere Rechnung sh. Abstand Punkt- Gerade
ABSTAND
ZWISCHEN ZWEI WINDSCHIEFEN GERADEN
Beziehung zwischen den beiden Geraden herstelllen
→ →
→
n o
u1 = 0 n
o
u2 =0
Durch Additionsverfahren n bestimmen (beliebigen Wert für ein n
einsetzen, um die anderen beiden bestimmen zu können)
Ergebnis = Normalenvektor
Mit dem (berechneten) Normalenvektor und dem Antragspunkt der Geraden 1
Ebenengleichung aufstellen
Mit dem (berechneten) Normalenvektor und dem Antragspunkt der Geraden 2
Ebenengleichnug aufstellen
Abstand der beiden Ebenen berechnen
Ergebnis = Abstand der beiden windschiefen
Geraden
ABSTAND EBENE -
URSPRUNG
D durch die Länge des Normalenvektors teilen
Ergebnis = Abstand Ebene - Ursprung
