Aufgabenbeispiel zur
Kurvendiskussion
(1) Definitionsbereich
(2) Achsenschnittpunkte
(3) Grenzwerte für x -> +
∞
∧ x-> -
∞
Grenzwertverhalten an den Polstellen
Ableitungen
(6)
Extrempunkte
(7) Polynomdivision ->
Asymptotengleichung
1.Beispiel : f(x) = (x^2-4)/(x-1)
(1) Definitionsbereich
D(f) = R \ {1}
Bedingung : x-1 ≠
0
x-1 = 0 ó x = 1
Achsenschnittpunkte
Schnittpunkte mit x-Achse
Bedingung : f(x) = 0
x^2-4 = 0 ó x =
± √ 4
ó x = -2
∨ x = 2 (Auflösen nach x)
oder
x^2-4 = 0 ó (x+2)(x-2) = 0 ó x = -2
∨ x = 2 (Binomische Formeln)
=>Sx1 (-2;0) ∧ Sx2
(2;0)
Schnittpunkte mit y-Achse
Bedingung : x = 0
f(0) = (0^2-4)/(x-1) = -4/-1 = 4
=>Sy(0;4)
Grenzwerte für x-> -
∞
∧ x-> +
∞
lim f(x) = lim x^2-4 = lim
x(x-4/x) = lim x-4/x [ = ∞ /1] = +
∞
x->∞
x->∞ x-1
x->∞ x(1-1/x)
x->∞ 1-1/x
oder
lim f(x) = lim x^2-4 = lim 1-4/x^2 [ =
1/0] = +∞
x->∞
x->∞ x-1
x->∞ 1/x-1/x^2
lim f(x) [ = -∞ /1] = -
∞
x->-∞
Folgerung : lim f(x) =
∞ ∧ lim f(x) = -
∞
x->∞
x->-∞
Grenzwertverhalten an den Polstellen
l-lim f(x) = lim (1-h)^2-4 = lim
1-2h+h^2-4 [ = -3/-h] = ∞
x->1 h->0 (1-h)-1 h->0 -h
r-lim f(x) = lim (1+h)^2-4 = lim
1+2h+h^2-4 [ = -3/h] = - ∞
x->1 h->0 (1+h)-1 h->0 h
Folgerung : Die Funktion f(x) = x^2-4
x-1
besitzt eine Unendlichkeitsstelle mit Vorzeichenwechsel
von + nach - an der Stelle x=1
Ableitungen
1.Ableitung
f’(x) = 2x(x-1)-(x^2-4)1
(x-1)^2
= x^2-2x+4
(x^2-2x+1)
2.Ableitung
f’’(x) =
(2x-2)(x^2-2x+1)-(x^2-2x+4)(2x-2)
(x-1)^4
= -6x+6 = -6(x-1) =
_-6__
(x-1)^4 (x-1)^4 (x-1)^3
3.Ableitung
f’’’(x) = 18
(x-1)^4
Extrempunkte
notwendige Bedingung : f’(x) =
0
f’(x) = x^2-2x+4 = 0
(x-1)^2
ó x^2-2x+4 =
0
ó x1 = 1 +
√ 1-4 nicht definiert
x2 = 1 - √ 1-4 nicht
definiert
LL = { }
Folgerung : Es gibt keine Hoch- oder
Tiefpunkte
Asymptotengleichung
(x^2-4) : (x-1) = x+1 +
(-3)/(x-1)
-(x^2-x)
x-4
-(x-1)
-3
(x^2-4) : (x-1) = x+1 + (-3)/(x-1)
ó (x^2-4)/(x-1) = x+1
- 3/(x+1) = f(x)
¦
-(x+1)
↓ ↓
f(x) g(x)
->0(x->± ∞
)
Behauptung : lim f(x) = lim g(x)
x->±
∞ x->±
∞
Beweis : x^2-4 - (x-1) = -
3
x-1 x-1
↓
f(x) -
g(x) = - 3
x-1
lim (f(x)-g(x) = lim - 3
x->∞
x->∞ x-1
lim f(x) - lim g(x) = 0 ½ +[ lim
g(x)]
x->∞
x->∞ x->∞
ó lim f(x) = lim
g(x)
x->∞
x->∞
