Kurvendiskussion Beispiel

Beschreibung / Inhalt
Das vorliegende Dokument ist ein Beispiel zur Kurvendiskussion. Es beschäftigt sich mit der Funktion f(x) = (x^2-4)/(x-1) und geht auf verschiedene Themen ein. Zunächst wird der Definitionsbereich der Funktion bestimmt, welcher R ohne die Zahl 1 ist. Anschließend werden die Achsenschnittpunkte berechnet. Dabei ergibt sich ein Schnittpunkt mit der y-Achse bei dem Punkt (0;4) und zwei Schnittpunkte mit der x-Achse bei den Punkten (-2;0) und (2;0).

Das Grenzwertverhalten für x -> +-unendlich wird berechnet und es ergibt sich, dass der Grenzwert für x -> +unendlich gegen unendlich geht und für x -> -unendlich gegen -unendlich geht. Des Weiteren wird das Grenzwertverhalten an den Polstellen ermittelt. Dabei ergibt sich, dass die Funktion an der Stelle x=1 eine Unendlichkeitsstelle mit Vorzeichenwechsel von + nach - besitzt.

Es werden die Ableitungen der Funktion gebildet und die notwendigen Bedingungen für Extrempunkte werden erfüllt. Allerdings ergibt sich bei der Lösung der Ableitung keine Lösung für einen Hoch- oder Tiefpunkt.

Zum Schluss wird die Asymptotengleichung bestimmt und die Behauptung aufgestellt, dass der Grenzwert der Funktion gegen den Grenzwert der Asymptote geht. Diese Behauptung wird durch einen Beweis bestätigt und somit ergibt sich für die Funktion f(x) = (x^2-4)/(x-1) die Asymptote f(x) = x+1. Die Themen, die in diesem Dokument behandelt werden, sind somit der Definitionsbereich, die Achsenschnittpunkte, das Grenzwertverhalten, das Grenzwertverhalten an den Polstellen, die Ableitungen, die Extrempunkte und die Asymptotengleichung.
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Auszug aus Referat
zur Kurvendiskussion (1) Definitionsbereich (2) Achsenschnittpunkte (3) Grenzwerte für x - x- - Grenzwertverhalten an den Polstellen Ableitungen (6) Extrempunkte (7) Polynomdivision - Asymptotengleichung 1.Beispiel : f(x) (x 2-4) (x-1) (1) Definitionsbereich D(f) R 1 Bedingung : x-1 0 x-1 0 ó x 1 Achsenschnittpunkte Schnittpunkte mit x-Achse Bedingung : f(x) 0 x 2-4 0 ó x 4 ó x -2 x 2 (Auflösen nach x) oder x 2-4 0 ó (x 2)(x-2) 0 ó x -2 x 2 (Binomische Formeln) Sx1 (-2;0) Sx2 (2;0) Schnittpunkte mit y-Achse Bedingung : x 0 f(0) (0 2-4) (x-1) -4 -1 4 Sy(0;4) Grenzwerte für x- - x- lim f(x) lim x 2-4 lim x(x-4 x) lim x-4 x 1 x- x- x-1 x- x(1-1 x) x- 1-1 x oder lim f(x) lim x 2-4 lim 1-4 x 2 1 0 x- x- x-1 x- 1 x-1 x 2 lim f(x) - 1 - x- - Folgerung : lim f(x) lim f(x) - x- x- ...
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