Irrationale Quadratwurzeln
Ohne daß wir es wissen, hatten wir häufig schon Strecken
gezeichnet, deren Länge eine irrationale Zahl war.
x ² = 2
- Über der Menge der rationalen zahlen ist diese Lösungsmenge
leer.
Die Menge der rationalen Zahlen ist unvollständig: es gibt
nicht für jede Länge eine rationale Maßzahl.
Auf
der Zahlengeraden gibt es außer den rationalen Punkten noch unendlich
viele irrationale Punkte.
Durch systematisches Vorgehen an der Zahlengeraden erhalten wir folgende
Intervalle:
I° = [1;2] , I =[1,4;1,5] , I =[1,41;1,42]
,..............
Jedes Intervall ist im Vorangehenden vollständig
enthalten.
Man sagt: Die Intervalle sind
ineinandergeschachtelt.
Eine Folge I°, I, I ,......von
unendlich vielen Intervallen nennt man Intervallverschachtelung,
wenn:
jedes Intervall im vorangehenden vollständig enthalten ist
und
die Länge der Intervalle mit wachsendem n beliebig klein wird.
Es gibt höchstens eine Zahl, die allen Intervallen in einer
Intervallverschachtelung angehört.
Die rationalen Zahlen lassen sich
durch endliche oder unendliche periodische Dezimalbrüche
darstellen.
Zahlen, die sich durch unendliche nichtperiodische
Dezimalbrüche darstellen lassen heißen irrationale Zahlen.
