Exponentialfunktionen

Beschreibung / Inhalt
Das vorliegende Dokument beschäftigt sich mit Exponentialfunktionen, ihren Eigenschaften und praktischen Anwendungen. Eine Exponentialfunktion hat die Form x q x, wobei q ⊂ |R+ {1}. Die Funktion ist streng monoton steigend für q > 1 und streng monoton fallend für 0 < q < 1. Der Graph liegt oberhalb der x-Achse und approximiert entweder den negativen oder positiven Teil der x-Achse, je nach q. Anwendungen von Exponentialfunktionen sind zum Beispiel Kapitalanlagen, Pflanzenwuchs oder Zerfall von Stoffen.

Es wird auch der Unterschied zu Potenzfunktionen erwähnt, bei denen die Hochzahl konstant ist, während sie bei Exponentialfunktionen variabel ist. Ein Beispiel für eine Exponentialfunktion zur Basis 2 wird gegeben und ihre Eigenschaften werden erklärt.

Weiterhin wird das lineare und exponentielle Wachstum von Größen behandelt. Beim linearen Wachstum gehört zu gleichen Zeitspannen immer eine Zunahme der Größe y um den gleichen Betrag, während beim exponentiellen Wachstum zu gleichen Zeitspannen immer eine Vervielfachung der Größe y mit dem gleichen Faktor b (Wachstumsfaktor) gehört. Hier wird auch die Funktionsgleichung y = a * bx gezeigt.

Die Logarithmusfunktionen werden ebenfalls behandelt. Es wird erklärt, dass der Logarithmus von y zur Basis q die (Hoch-)Zahl x ist, mit der man q potenzieren muss, um y zu erhalten. Verschiedenen Logarithmengesetze werden gezeigt und die Eigenschaften von Logarithmusfunktionen erklärt. Der Graph von Logarithmusfunktionen approximiert den negativen Teil der Y-Achse und hat den Punkt (1;0) gemeinsam. Es wird auch erklärt, dass die Logarithmusfunktion eine Umkehrung der Exponentialfunktion ist.

Zum Abschluss werden Übungsaufgaben gegeben, bei denen die Größe y exponentiell wächst und eine Tabelle ausgefüllt werden muss, um den Wert von y zu verschiedenen Zeitpunkten zu berechnen.
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Auszug aus Referat
Exponentialfunktionen Definition: Zuordnungen der Form x q x (q R 1 ) heißen Exponentialfunktionen. Eigenschaften von Exponentialfunktionen: 1. für jede Exponentialfunktion gilt: a: der Graph der Funktion steigt für q 1, die Funktion ist streng monoton steigend sie fällt für 0 q 1, die Funktion ist streng monoton fallend b: der Graph liegt oberhalb der x- Achse, daraus folgt: die Menge aller Funktionswerte ist R c: der Graph approximiert - den negativen Teil der x- Achse für q 1 den positiven Teil der x-Achse für 0 q 1 Praktische Anwendung der Exponentialfunktionen: - Kapitalanlagen Pflanzenwuchs Gleichmäßiges Wachstum Zerfall von Stoffen Beachte: Im Unterschied zu den Potenzfunktionen ist bei Exponentialfunktionen die Hochzahl variabel. Beispiel: Die Funktion x 2x ; x R heißt Exponentialfunktion zur Basis 2. Für diese Funktion gilt: Der Graph steigt; die Funktion ist streng monoton wachsend. Der Graph liegt oberhalb der 1. Achse. Die Funktion nimmt jede positive reelle Zahl als Funktionswert an.Für x 0 ist 0 2x 1, für x 0 ist 2x 1, für x 0 ist 2x 1. Der Graph schmiegt sich an den negativen Teil der 1. Achse an. Die 1. Achse ist Asymptote des Graphen. Jedesmal, wenn x um s wächst, wird der Funktionswert 2x mit 2s multipliziert. y -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 x Stelle Funktionswert x 2x s 2s x s 2x s 2x 2s bei unterschiedlicher Wahl der Basis wird der Graph der Funktion gestreckt oder gestaucht. Siehe oben Lineares Wachstum einer Größe y: Zu gleichen Zeitspannen gehört immer ...
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