Bernoulli Versuche

Beschreibung / Inhalt
Das Dokument beschäftigt sich mit Bernoulli-Versuchen und der Binomialverteilung. Es wird erklärt, was ein einstufiger und n-stufiger Bernoulli-Versuch ist und wie die Binomialverteilung definiert ist. Es wird die Formel zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit für k Erfolge in einem n-stufigen Bernoulli-Versuch mit gegebener Erfolgswahrscheinlichkeit p und Misserfolgswahrscheinlichkeit q genannt. Weiterhin werden der Erwartungswert, die Varianz und Standardabweichung der Binomialverteilung berechnet und die Gauss'sche Dichtefunktion erklärt. Es wird auch die lokale und integrale Näherungsformel von Moivre und Laplace genannt und erklärt, wie man damit brauchbare Werte für die Abweichung σ erhält. Schließlich gibt es noch eine Erklärung und Beweisführung zu einer Formel für Wahrscheinlichkeiten in der n-fachen σ-Umgebung, die zeigt, wie man annähernd genaue Werte berechnen kann. Insgesamt handelt es sich um ein Dokument, das sich mit den mathematischen Grundlagen der Bernoulli-Versuche und der Binomialverteilung auseinandersetzt und dabei wichtige Formeln und Näherungsverfahren erklärt.
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Auszug aus Referat
Bernoulli Versuche Definition: Ein einstufiger BV ist ein Zufallsversuch mit zwei möglichen Ergebnissen die man mit Erfolg und Misserfolg bezeichnet. Wird ein BV n-mal durchgeführt und ändert sich die W. p für Erfolg nicht, so spricht man von einem n-stufigen BV. Definition der Binomialverteilung: Gegeben sei ein n-stufiger BV mit der Erfolgsw. p und der Misserfolgsw. q 1-p . Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße X: Anzahl der Erfolge heißt Binomialverteilung. Die Wahrscheinlichkeit für k Erfolge berechnet man mit der Formel: Erwartungswert: Ist X die Anzahl der Erfolge bei einem n-stufigen BV mit der Erfolgsw. p, dann gilt Beweis für n 1: k 0 1 Varianz X sei binomialverteilt zu den Parametern n und p. Dann gilt: Standartabweichung Gaußsche Dichtefunktion Der Graph der Funktion mit dem Term heißt Gaußsche Dichtefunktion. Lokale Näherungsformel von Moivre und Laplace Für große n gilt: Wenn X zu n und p binomialverteilt ist gilt: Diese Näherung liefert brauchbare Werte für 3 Integrale Näherungsformel von Moivre und Laplace sie eine Stammfunktion der Gaußschen Dichtefunktion . X sei B(n, p). Dann gilt bei großen n: Diese Näherung liefert brauchbare Werte für 3 Wahrscheinlichkeiten in der n-fachen -Umgebung Für einen BV mit B(n, p) gilt: Für n 1 und daraus resultierendes 3 gilt daher: wichtige Werte: Radius der Umgebung Näherungswert von P(x k) 1,645 0,90 1,96 0,95 2,575 0,99 Beweis: da der Term für n 1 sehr gering wird, kann er vernachlässigt werden. ...
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