Mahtematikzusammenfassung

Beschreibung / Inhalt
Das Dokument ist ein Auszug aus einer Art Lehrbuch oder Skript zum Thema Mathematik, genauer gesagt zur Thematik von Folgen und Reihen sowie Grenzwerten. Es werden verschiedene mathematische Konzepte behandelt und anhand von Beispielen und Definitionen erläutert.

Zu Beginn wird auf verschiedene Aspekte von Folgen eingegangen, wie zum Beispiel waagerechte und senkrechte Asymptoten, Fakultäten, Fibonacci-Folgen und arithmetische sowie geometrische Folgen.

Anschließend wird der Folgenbegriff auf Reihen erweitert und der Begriff der vollständigen Induktion beschrieben. Hierbei werden Induktionsanfang, Induktionsschritt und Induktionsbeweis thematisiert.

Ein weiterer Teil behandelt die Monotonie von Folgen und ihre Beschränktheit: Obere und untere Schranken von Folgen werden definiert und deren Nachweis an Beispielen erläutert.

In einem weiteren Abschnitt wird der Grenzwert einer Folge eingeführt. Dabei wird anhand von Beispielen erklärt, wie man den Grenzwert einer Folge nachweist, einschließlich der sogenannten Epsilon-Definition. Anschließend werden konvergente und divergente Folgen besprochen sowie Grenzwertsätze und die Bestimmung des Grenzwertes von Funktionen behandelt.

Im Bereich der Grenzwerte von Funktionen wird zuerst auf den Grenzwert für |x| -> 8 eingegangen, danach auf den allgemeineren Grenzwert von Funktionen für x -> a. Hierzu werden Definitionen, Beispiele und Verfahren gezeigt, wie die Polynomdivision oder die Linearfaktorzerlegung.

Zusammenfassend behandelt das Dokument unterschiedliche Aspekte von mathematischen Folgen, Reihen und Grenzwerte. Dabei werden Themen wie Monotonie, Beschränktheit, vollständige Induktion und Grenzwerte von Funktionen erklärt, immer begleitet von Beispielen und Definitionen, um die Konzepte zu verdeutlichen.
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Auszug aus Referat
Folgen x - 8 lim 1 x 0 : waag. Asymptote ; x - 3 lim (x 3) (x-3) : senkr. Asymptote ; Ð - 3 : n - a n ; n : n Fakultät ; a n 2 a n 1 a n : Fibonacci-Folge ; a 1 ; a 2 ; a 3 ; ... (a n) ; Vorzeichen wechselt von Folgenglied zu Folgenglied : alternierende Folge ; a n 1 3 a n : rekursiv def. Folge ; Differenz 2er benachbarter Folgenglieder ist konst. : arithmetische Folge ; Quotient 2er benachbarter Folgenglieder ist konst. : geometrische Folge : a) arithmetisches Mittel von a und b : (a b) ; b) geometrisches Mittel von a und b : v(a b) . Erweiterung des Folgenbegriffs auf Reihen (a n) a 1 ; a 2 ; ... (Folge reeller Zahlen) : s n a 1 a 2 ... a n (Folge der Teilsummen) heißt Reihe . Die vollständigen Induktion A n Aussage über Ð mit folgenden Eigenschaften : (Induktionsanfang) A 1 ist wahr (1 einsetzen & ausrechnen) (Induktionsschritt) : 1) Induktionsannahme : A n sei wahr 2) Induktionsbehauptung : A n 1 ist dann auch wahr 3) Induktionsbeweis Bsp.: s n 1 2 3 ... n n(n 1) : n 1 : s 1 1 & 1 2 1 ü : 1) A n sei wahr : s n 1 2 ... n n(n 1) 2) A n 1 ist dann auch wahr : s n 1 1 2 ... n (n 1) (n 1)(n 2) 3) Beweis : s n 1 1 2 ... n (n 1) , (mit s. 1)) n(n 1) (n 1) (n 1)( n 1) (n 1) (n 2) (n 1)(n 2) ü andere Beweismöglichkeit : direkter Beweis s n 1 2 3 ... n s n n (n 1) (n 2) ... 1 2s n (n 1) (n 1) ... (n 1) (n-mal (n 1)) 2s n n(n 1) s n n(n 1) Induktion : von Einzelaussagen wird zu allg. Regel hingeführt Deduktion : von allg. Regel wird Einzelaussage abgeleitet 2 weitere ...
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