Zufallsvariablen

Beschreibung / Inhalt
Das Dokument beschäftigt sich mit verschiedenen Themenbereichen aus der Stochastik. Zunächst wird die stetige Zufallsvariable X definiert und der Satz von De Moivre-Laplace vorgestellt, welcher eine Grenzwertbetrachtung für binominalverteilte Zufallsvariablen darstellt. Anschließend wird die Standardnormalverteilung eingeführt und ihre Eigenschaften erläutert. Es wird auch gezeigt, wie binominalverteilte Zufallsvariablen durch diese approximiert werden können. Weiterhin wird die Normalverteilung behandelt, einschließlich ihrer Verteilungsfunktion und Dichte sowie der Standardisierung von Zufallsvariablen. Es werden auch Eigenschaften der Normalverteilung, wie zum Beispiel die Summe von normalverteilten Zufallsvariablen, vorgestellt. Schließlich wird der zentrale Grenzwertsatz erwähnt, der besagt, dass die Summenvariable von unabhängigen, identisch verteilten Zufallsvariablen für n gegen unendlich normalverteilt ist. Abschließend wird die exponentialverteilte Zufallsvariable definiert und ihre Eigenschaften erläutert.
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Auszug aus Referat
X heißt stetige Zufallsvariable, genau dann, wenn x überabzählbar unendlich ist und eine nichtnegative integrierbare Funktion fx existiert mit b P(a X b) f(x)dx für alle a,b mit a b. a Satz von De Moivre-Laplace: Xn seien binominalverteilte Zufallsvariablen mit den Parametern n und p, 0 p 1, n 1,2,3,.... Dann gilt für beliebige endliche Intervalle u,v für die standardisierten Zufallsvariablen Xn (Xn np) np (1 p) : v 2 lim P(u Xn v) 1 (2 ) e 0,5 x dx . n u Definition (Standardnormalverteilung): Eine Zufallsvariable Z, für welche die Wahrscheinlichkeiten P(a Z b) für alle a und b mit b b 2 a b durch P(a Z b) (z) dz 1 (2 ) e 0,5 z dz a a erklärt sind, heißt standardnormalverteilt oder auch N(0;1)-verteilt. Die Funktion heißt Dichte der Zufallsvariablen Z. P(a Z b) P(a Z b) P(a Z b) P(a Z b) (b) - (a). P(Z z) P(Z z) 1 - (z) für jedes z . Approximationseigenschaft: X sei binominalverteilt mit den Parametern n und p mit np(1-p) 9. Dann gelten für die ganzzahligen Werte k, k1, k2 mit k1 k2 die Näherungen P(k1 X k2) ( (k2 0,5 np) np(1-p) ) - ( (k1- 0,5 np) np(1-p) ); P(Xn k) ( (k 0,5 np) np(1-p) ) - ( (k- 0,5 np) np(1-p) ); P(Xn k) ( (k 0,5 np) np(1-p) ) . Die Zufallsvariable X besitze den Erwartungswert E(X) und die Varianz 2 Var(X) . Falls ihre Standardisierung X X E(X) Var(X) (X- ) Z N(0;1)-verteilt ist, heißt X normaverteilt oder N( ; )-verteilt. Die Zufallsvariable X sei N( ; )-verteilt. Dann gilt: F(X) P(X x) ((x- ) ) (Verteilungsfunktion); 2 2 f(x) e-(x- ) (2 ) 1 (2 2) ...
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