Das Gaußsche Eliminationsverfahren

Beschreibung / Inhalt
Dieses Dokument ist eine Facharbeit über das Gaußsche Eliminationsverfahren aus der Mathematik, die 1993/1994 von Florian Michahelles am Werner-von-Siemens-Gymnasium verfasst wurde. In dieser Facharbeit beschäftigt sich der Autor mit verschiedenen Verfahren zur Lösung von linearen Gleichungssystemen und derer programmtechnischen Umsetzung.

Zu Beginn der Arbeit wird eine Einführung in das Thema gegeben, bei der die Grundlagen und die Definition von linearen Gleichungen sowie linearen Gleichungssystemen erläutert werden. Lineare Gleichungssysteme können als Matrizen dargestellt werden, und bei der Umformung von Matrizen sind bestimmte Umformungen erlaubt, ohne dass sich das Ergebnis der Matrix ändert. Dazu gehört das Vertauschen von Zeilen, das Ersetzen von Zeilen durch Linearkombinationen und das Vertauschen von Spalten.

Im weiteren Verlauf der Arbeit wird das Gaußsche Eliminationsverfahren, benannt nach Carl Friedrich Gauß, vorgestellt. Es handelt sich dabei um einen der wichtigsten numerischen Algorithmen der Mathematik, der in zwei Etappen unterteilt ist: Vorwärtselimination und Rückwärtseinsetzen.

Die Vorwärtselimination zielt darauf ab, das Gleichungssystem auf eine Dreiecksform zu bringen, bei der unterhalb der Hauptdiagonalen Nullen stehen und oberhalb neue Koeffizienten. Dabei setzt man die so genannten Pivotelemente (der Nenner bei der Berechnung des Faktors c) ein, um die Effektivität der Vorwärtselimination zu verbessern.

Das Rückwärtseinsetzen, auch als Rücksubstitution bezeichnet, dient dazu, die Unbekannten in den Gleichungen auszurechnen. Dabei arbeitet man sich von der letzten Gleichung des Gleichungssystems bis zur ersten Gleichung durch und löst nach den Unbekannten auf.

Neben dem Gaußschen Eliminationsverfahren werden weitere Algorithmen in der Arbeit vorgestellt, wie der Gauß-Jordan Algorithmus und das Gauß-Seidel Verfahren.

Der zweite Teil der Facharbeit befasst sich mit der Programmumsetzung der vorgestellten Algorithmen. Hierzu werden die grundlegenden Prinzipien sowie die Programmablaufprotokolle erklärt und im Anhang gezeigt. Zuletzt vergleicht der Autor die verschiedenen Algorithmen miteinander und gibt eine Schlussbemerkung ab.

Insgesamt bietet diese Facharbeit einen umfassenden Einblick in das Gaußsche Eliminationsverfahren sowie in weitere verwandte Algorithmen zur Lösung linearer Gleichungssysteme und deren Umsetzung in Computerprogramme.
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Auszug aus Referat
Werner-von-Siemens-Gymnasium Weißenburg Bay. Kollegstufe Abiturjahrgang 1992 1994 F A C H A R B E I T aus der Mathematik Das Gaußsche Eliminationsverfahren Theoretische Grundlagen und programmierte Realisierung Verfasser: Florian Michahelles Leistungskurs: M31 Kursleiter: H. Weber Bearbeitungszeitraum: 1. 2. 1993 bis Abgabetermin: 1. 2. 1994 Inhaltsverzeichnis I) Theoretische Grundlagen1. Einführung1.1 Aufbau einer linearen Gleichung1.2 Lineare Gleichungssysteme1.3 Lineare Gleichungssysteme als Matrizen2. Gaußsches Eliminationsverfahren2.1 Vorwärtselimination2.2 Rückwärtseinsetzen oder Rücksubstitution2.3 Verbesserung durch Pivotierung3. Gauß-Jordan Algorithmus4. Gauß-Seidel-Verfahren5. Probleme mit den AlgorithmenII) Programmumsetzungen1. Gaußsches Eliminationsverfahren1.1 Grundprinzip1.2 Programmbeschreibung2. Gauß-Jordan Verfahren2.1 Grundprinzip2.2 Programmbeschreibung3. Gauß-Seidel Verfahren3.1 Grundprinzip3.2 Programmbeschreibung3.3 SchlußbemerkungAnhang Anhang A: ProgrammtexteAnhang B: ProgrammablaufprotokolleAnhang C: Vergleich der AlgorithmenAnhang D: Bibliographische Daten I) Theoretische Grundlagen 1. Einführung Diese Facharbeit behandelt drei Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme. Im ersten werden zunächst die theoretischen Grundlagen der Verfahren dargelegt, im zweiten Teil folgt dann die Umsetzung der Verfahren in Computerprogramme.Zunächst soll allerdings zuerst einmal der Aufbau der linearen Gleichungssysteme erklärt werden. 1.1 Aufbau einer ...
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