Die Differentialgleichung der gedämpften elektromagnetischen Schwingung

Beschreibung / Inhalt
Das Dokument beschäftigt sich mit der Differentialgleichung der gedämpften elektromagnetischen Schwingung. Es wird erklärt, wie man die Gleichung aus dem Energieerhaltungssatz ableiten kann und wie man sie in bestimmten Fällen lösen kann. Es werden auch Formeln für die Frequenz und die Dämpfungskonstante abgeleitet. Das Ziel des Dokuments ist es, die Amplitude und Frequenz der Schwingung durch gegebene Werte zu berechnen. Das Dokument ist sehr technisch und mathematisch orientiert. Es wird vorausgesetzt, dass der Leser über Kenntnisse in Differentialgleichungen verfügt.
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Auszug aus Referat
Die Differentialgleichung der gedämpften elektromagnetischen Schwingung Ansatz: Werden die Widerstände der Leiterbahnen vernachlässigt (idealer Schwingkreis), bleibt die Summe der Beträge beider Spannungen auf Grund des Energieerhaltungssatzes konstant. (Bild: idealer Schwingkreis) - 0 Ebenfalls aus dem Energieerhaltungsatz erhält man den Ansatz für die Differentialgleichung der gedämpften elektromagnetischen Schwingung: Ersatzschaltbild für den realen Schwingkreis (R): (Bild: realer Schwingkreis) - 0 (Gleichung 1a) Aus folgt für : (Gleichung 1b) Aus folgt für : (Gleichung 1c) Aus dem Induktionsgesetz geht hervor: (Gleichung 1d) Durch Einsetzen der Gleichungen 1b, 1c, 1d in die Gleichung 1a erhält man die Gleichung : (Gleichung 2a) Da für gilt : bzw. , folgt für die Differentialgleichung: (Gleichung 2b) Jede gedämpfte harmonische Schwingung läßt sich durch eine Gleichung der Form beschreiben. Da in diesem Fall elektrische Ladungen schwingen, ergibt sich daraus der Lösungsansatz für die Differentialgleichung: Ziel: und sollen durch gegebene Werte (und ) berechnet werden können. Durch Einsetzen dieser Terme in Gleichung 2b entsteht die Gleichung : ( - - ) Durch Zusammenfassen der Gleichung erhält man: Da für den zu beobachtenden Zeitraum stets ungleich 0 ist, können wir beide Seiten der Gleichung durch dividieren. Die dann entstehende Gleichung ist nur dann erfüllt, wenn gleichzeitig gilt: 1) (Gleichung 3a) (Gleichung 3b) Da und nie gleichzeitig null sind, genügt es, den ...
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