Wegintegrale und Kurvenintegrale

Beschreibung / Inhalt
Das Dokument beschäftigt sich mit den Themen Wegintegrale und Kurvenintegrale. Es werden verschiedene Theoreme vorgestellt und mit Beispielen und Lösungen veranschaulicht. Es wird gezeigt, wie Kurvenparameter verwendet werden können, um Kurvenintegrale zu berechnen. Außerdem werden einfache und einfache geschlossene Kurven erklärt und deren Orientierung erläutert. Es werden Beispiele gegeben, wie Kurvenintegrale in solchen Kurven berechnet werden können. Insgesamt zielt das Dokument darauf ab, grundlegende Konzepte der Kurvenintegration zu erklären und sie auf praktische Probleme anzuwenden. Der Stil des Dokuments soll für eine einfachere Verständlichkeit gewährleisten, dass keine schweren wissenschaftlichen Ausdrücke in dem Dokument vorkommen.
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Auszug aus Referat
Wegintegrale und Kurvenintegrale Theorem 1: Sei F ein auf dem C1 Weg stetiges Vektorfeld und sei eine Reparameterisation von . Wenn richtungs-wahrend ist, dann gilt und wenn richtungs-wechselnd ist, dann gilt Beispiel: Sei und sei definiert durch . Rechnen Sie und aus. Lösung: Für haben wir und . Daraus folgt Für haben wir und . Daraus folgt Theorem 2: Sei stückweise C1, f eine stetige (reellwertige) Funktion auf dem Bild von und sei irgendeine Parametrisierung von . Dann gilt: Das nächste Theorem liefert eine nützliche Technik für das Ausrechnen von Kurvenintegralen: Es stellt eine Verallgemeinerung des Fundamentalsatzes dar. Theorem 3: Angenommen ist aus der Klasse C1 und daß ein stückweise C1 Weg ist. Dann gilt: (Beachte: für reellwertige Funktionen ) Beweis: Wendet man die Kettenregel auf die zusammengesetzte Funktion an, so erhält man . Die Funktion F ist eine reellwertige Funktion mit der Variablen t. So folgt also nach dem Fundamental-satz . Daraus folgt: Beispiel: Sei der Weg . Berechnen Sie . Lösung: Wir erkennen, daß ydx xdy bzw. das Vektorfeld yi xj 0k genau der Gradient der Funktion ist. So folgt . Definition: Wir definieren eine einfache Kurve C als das Bild einer stückweise C1 Abbildung , die auf dem Intervall I bijektiv ist. wird eine Parametrisierung von C genannt. Eine einfache Kurve ist also eine Kurve, die sich selbst nicht schneidet. Wenn I a,b , dann nennen wir (a) und (b) die Endpunkte der Kurve. Jede einfach Kurve hat zwei Orientierung oder ...
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