Die Integralrechnung

Beschreibung / Inhalt
Das Dokument beschäftigt sich mit der Integralrechnung und stellt vor allem das bestimmte Integral vor. Dabei wird die Streifenmethode als Einführungsbeispiel genutzt, um die Flächenberechnung unter dem Graphen einer Funktion zu erklären. Es wird auch auf die Geschichte der Integralrechnung eingegangen und der Beitrag von Georg Friedrich Bernhard Riemann betont. Das bestimmte Integral wird als Maßzahl für den Flächeninhalt eines ebenen Flächenstücks unterhalb eines Graphen einer bekannten Funktion definiert. Die Untersuchung von Grenzwerten spielt dabei eine zentrale Rolle.

Die Streifenmethode ist eine Methode zur Annäherung an die Normalfläche, die sich unterhalb des Graphen einer Funktion innerhalb eines bestimmten Intervalls befindet. Hierbei wird das Intervall in n Teilintervalle zerlegt und die Maßzahlen der oberen und unteren Treppenfläche ermittelt. Je mehr Teilintervalle man wählt, desto genauer wird die Maßzahl.

Abschließend wird die allgemeine Rechnung für das Intervall [0;b] erläutert und eine Summenformel für Quadratzahlen vorgestellt. Diese Formel kann mit Hilfe des Beweisverfahrens der vollständigen Induktion bewiesen werden. Durch das Streben der Anzahl n der Teilintervalle gegen Unendlich kann der Grenzwert von Unter- und Obersumme berechnet werden. Dadurch kann das bestimmte Integral als Maßzahl der Normalfläche zugeordnet werden.
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Auszug aus Referat
HISTORIE Die Integralrechnung entstand ursprünglich aus dem Problem, den Inhalt solcher ebenen Bereiche zu erklären, die von beliebigen Kurven begrenzt werden. Die Integralrechnung bedient sich dabei der Untersuchung von Grenzwerten und hängt eng mit der Differentialrechnung zusammen. Wie bei der Differentialrechnung ist es auch bei der Einführung in die Integralrechnung zweckmäßig, aus den vielen verwandten Problemstellungen bezüglich der Anwendung der Integration eines herauszugreifen. Als ein solches Einführungsbeispiel eignet sich - u. a. wegen seiner Anschaulichkeit - besonders das Problem des Flächeninhalts eines ebenen Flächenstücks unterhalb eines Graphen einer bekannten Funktion. Einen entscheidenden Beitrag zur Entwicklung der Integralrechnung lieferte Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866). Mit seiner Doktorarbeit Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Funktionen einer veränderlichen komplexen Größe aus dem Jahre 1859 begründete er die Theorie der Funktionen vom Differenzierbarkeitsbegriff für komplexe Funktionen ausgehend neu. Als einführendes Beispiel soll dabei die Flächenberechnung unter dem Graph einer Funktion mit Hilfe der Streifenmethode dienen. DAS BESTIMMTE INTEGRAL Die folgende Betrachtung beschränkt sich auf stetige und positive Funktionen und ermöglicht eine anschauliche Erklärung des bestimmten Integrals (Riemann-Integral); dieses kann aber auch auf eine sehr viel allgemeinere Funktionsklasse erklärt werden. Definition: f(x) sei eine auf ...
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