Grundlagen der Mathematik

Beschreibung / Inhalt
Im vorliegenden Dokument werden die Grundlagen der Mathematik erläutert. Es wird erläutert, was ein Axiomensystem ist und wie es verwendet wird, um mathematische Systeme zu schaffen. Die Widerspruchsfreiheit und Unabhängigkeit von Axiomen sind Schlüsselkriterien bei der Überprüfung von Systemen. Es wird auch die Isomorphie erwähnt, die es ermöglicht, Axiomensysteme aufeinander abzubilden. Ein Beispiel für die Isomorphie wäre die Beziehung zwischen der euklidischen Geometrie und der linearen Algebra. Das Dokument geht auch auf die Entwicklung nichteuklidischer Geometrien ein, die aus der Überprüfung des Parallelenaxioms hervorgegangen sind. Das Parallelenaxiom besagt, dass in der euklidischen Geometrie durch einen Punkt außerhalb einer Geraden nur eine Parallele zur Geraden gezogen werden kann. Da dieses Axiom nicht unabhängig von den anderen Axiomen ist, wurde seine Unabhängigkeit untersucht, was zur Entdeckung nichteuklidischer Geometrien führte. Schließlich wird auch die philosophische Betrachtung der Mathematik erörtert, einschließlich Formalismus, Platonismus, Intuitionismus und Logizismus. Das Dokument umfasst 111 Seiten und enthält auch ein Literaturverzeichnis.
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Auszug aus Referat
Grundlagen der Mathematik Spezialgebiet in Mathematik Jakob Huber Inhaltsangabe 1. Die axiomatische Methode Seite 2 1.1. Was ist die Axiomatisierung? 1.2. Isomorphie 1.3. überprüfung von Axiomensystemen 2. Die Entwicklung von nichteuklidischen Geometrien Seite 4 2.1. Das Parallelenaxiom 2.2. Die nichteuklidischen Geometrien 3. Historische Entwicklung der Philosophie der Mathematik Seite 7 4. Das Sichern der Grundlagen Seite 8 4.1. Der Formalismus 4.2. Der Platonismus 4.3. Der Konstruktivismus oder Intuitionismus 4.4. Der Logizismus Anhang: Literaturverzeichnis Seite111. Die axiomatische Methode 1.1. Was ist die Axiomatisierung? Ein Axiomensystem ist die Grundlage aller mathematischer Systeme. Um ein solches System zu schaffen muß man alle Grundtatsachen und Definitionen finden, aus denen sich alle anderen Sätze des betreffenden Fachgebiets bzw. der betreffenden Wissenschaft sammeln. Ist dies gelungen, so nennt man das Axiomensystem definit. Damit ein solches System überzeugen kann müssen alle Bezeichnungen, die man verwendet definiert sein und es muß alles bewiesen werden, indem man geistig, die definierten Ausdrücke durch ihre Definitionen ersetzt. Ein Axiomensystem kann niemals die komplette Wahrheit über ein Sachgebiet wiedergeben, sondern ist immer als ein Modell zu verstehen, selbst wenn uns die Naturwissenschaften glauben machen, wollen, daß sie die Wahrheit über ihr Gebiet wiedergeben. Sobald neue Erkenntnisse gewonnen werden, können die überholten Begriffe jedoch ...
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