Die Transzendenz der Zahl e

Beschreibung / Inhalt
Das Dokument ist ein Referat zum Thema „Transzendenz der Zahl e“ und enthält einen Beweis für die Transzendenz von e. Es wird erklärt, dass eine Zahl algebraisch ist, wenn sie eine bestimmte algebraische Gleichung erfüllt, und transzendent ist, wenn sie keine algebraische Zahl ist. Rationale Zahlen sind algebraisch und nicht transzendent, während fast alle gebräuchlichen Zahlen algebraisch sind. Es wird jedoch darauf hingewiesen, dass es Ausnahmen gibt, wie zum Beispiel die Zahl e. Eine zentrale Idee des Beweises ist, dass e durch rationale Zahlen besonders gut approximiert werden kann. Aus der Annahme, dass e algebraisch ist, wird ein Widerspruch abgeleitet, der beweist, dass e transzendent ist.

Das Dokument enthält auch Definitionen für mathematische Begriffe wie algebraisch, transzendent, Irrationalität und Primzahl sowie die Verwendung von mathematischen Funktionen wie der Γ-Funktion. Der Beweis wird Schritt für Schritt erklärt und es werden mathematische Gleichungen und Grafiken verwendet, um den Beweis zu illustrieren. Das Dokument ist für ein Publikum geschrieben, das mathematische Kenntnisse besitzt und ist in klarer und präziser Sprache verfasst.
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Auszug aus Referat
Referat im PS Analysis II Gehalten am 15.1.1999 Von: Bayer Stefanie Rammler Markus Simmer Rudolf Zivkovic Daniel Die Transzendenz der Zahl e Die Frage, ob eine Zahl transzendent (nicht algebraisch) oder algebraisch ist, kann man mit Hilfe der algebraischen Gleichung leicht beantworten. Definition: Eine Zahl x heißt algebraisch, wenn sie folgende Gleichung erfüllt: , wobei algebraische Gleichung Eine Zahl x heißt transzendent, wenn sie nicht algebraisch ist. z.B. ist Lösung der Gleichung Also sind rationale Zahlen algebraisch und daher nicht transzendent, da sie die allgemeine Gleichung für erfüllen. Aus diesem Grund können nur irrationale Zahlen transzendent sein, wobei sich die Frage stellt, ob wirklich alle irrationalen Zahlen oder nur bestimmte transzendent sind. z.B. ist Lösung der Gleichung , woraus folgt, daß algebraisch ist, obwohl sie eine irrationale Zahl ist. Aus diesem Beispiel können wir folgern, daß alle Wurzeln Lösungen von algebraischen Gleichungen (d.h. algebraisch) sind. Wir können somit sehen, daß fast alle gebräuchlichen Zahlen algebraisch sind. Uns sind jedoch schon nach kurzem überlegen zwei Ausnahmen bekannt: und e Für e wollen wir nun den Beweis führen, wobei wir die Irrationalität von e voraussetzen. Der erste Beweis der Transzendenz von e stammt von Hermite aus dem Jahre 1873. Der hier vorgestellte Beweis ist von David Hilbert 1893 und stellt eine Vereinfachung des Beweises von Hermite dar. BEWEISIDEE Die zentrale Idee des Beweises ist die Zerlegung ...
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