Newton Approximation

Beschreibung / Inhalt
Das Dokument beschäftigt sich mit der Newton-Approximation als Möglichkeit zur exakten Nullstellenbestimmung von Polynomen dritter Ordnung. Es wird erklärt, dass bisher bekannte Verfahren versagen und daher ein Näherungsverfahren notwendig ist. Das Newton-Verfahren ermöglicht eine präzise Approximation an die Nullstelle und kommt mit den Mitteln der Differentialrechnung aus. Es wird das Beispiel einer Funktion gegeben, bei der die Nullstellen nicht lösbar sind, und gezeigt, wie man mithilfe einer Tangente die Nullstelle annähern kann. Es wird der Satz und Beweis der Tangentengleichung und der Iterationsvorschrift erklärt. Eine Tabelle zeigt die Approximationsschritte für ein Beispiel. Des Weiteren werden Anwendungen der Newton-Approximation gegeben, wie beispielsweise bei Schnittpunkten von Funktionen oder Extremata. Probleme wie nicht differenzierbare Stellen oder Maschinenungenauigkeit werden ebenfalls behandelt. Zusammengefasst ist das Dokument eine Einführung in die Newton-Approximation und gibt Anleitungen für deren Anwendung.
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Auszug aus Referat
27.02.2003 GFS im Fach Mathematik Florian Rieger Kl.12 Newton-Approximation 1. Problemstellung Schon bei Polynomen dritter Ordnung versagen alle (den Schülern bisher bekannten) Verfahren zur exakten Nullstellenbestimmung. Deshalb liegt es nahe ein einfaches Näherungsverfahren zu finden, das es ermöglicht Nullstellen sehr genau und effizient zu berechnen. Eine solche Möglichkeit zur Nullstellenbestimmung stellt das Newton-Verfahren dar. Es ermöglicht eine sehr präzise Approximation an die eigentliche Nullstelle und kommt mit den uns bisher bekannten Mitteln der Differentialrechnung aus. Als erstes Beispiel für uns nicht lösbarer Nullstellen soll hier die Funktion dienen, da sie zum einen ein einfaches und anschauliches einzeichnen von Tangenten ermöglicht und zum anderen eine recht einfache Funktion darstellt. Der Funktionsgraph sieht wie folgt aus (Abb 1.1): Abb 1.1 Abb 1.2 Der Beweis der Nullstelle gelingt durch f(1) 0; f(2) Unendlich , S.47 Fig.2) oder eine nicht erwünschte Nullstelle (S.47 Fig.3) 3.3 Approximationsqualität Bei entsprechend günstig gewählten Startwert (der Betrag der Differenz der exakten Nullstelle und des Startwerts ist kleiner als 1) wird die Approximaiton oft schon nach drei oder vier Schritten bis auf ca. 5 oder mehr Dezimalstellen genau. Dennoch wird die exakte Nullstelle meißt nicht erreicht (außer x0 ist schon die genaue Nullstelle) sondern: Die Genauigkeit å muss vorgegeben werden und kann dann so genau berechnet werden wie die Vorgabe es ...
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