Aufgabenbeispiel zur Kurvendiskussion

Beschreibung / Inhalt
Das vorliegende Dokument ist ein Aufgabenbeispiel zur Kurvendiskussion einer Funktion. Es wird exemplarisch die Funktion f(x) = (x^2-4)/(x-1) untersucht. Zunächst wird der Definitionsbereich bestimmt und die Achsenschnittpunkte mit x- und y-Achse berechnet. Anschließend wird das Grenzwertverhalten für x->+/- unendlich untersucht sowie das Grenzwertverhalten an der Polstelle bei x=1. Es werden die erste, zweite und dritte Ableitung der Funktion berechnet und die notwendige Bedingung für Extremstellen untersucht. Da keine Nullstelle ermittelt werden kann, gibt es keine Hoch- oder Tiefpunkte. Zuletzt wird die Asymptotengleichung bestimmt und gezeigt, dass der Grenzwert der Funktion f(x) für x->+/- unendlich dem Grenzwert einer Hilfsfunktion g(x) entspricht.
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Auszug aus Referat
Aufgabenbeispiel zur Kurvendiskussion (1) Definitionsbereich (2) Achsenschnittpunkte (3) Grenzwerte für x - x- - Grenzwertverhalten an den Polstellen Ableitungen (6) Extrempunkte (7) Polynomdivision - Asymptotengleichung 1.Beispiel : f(x) (x 2-4) (x-1) (1) Definitionsbereich D(f) R 1 Bedingung : x-1 0 x-1 0 ó x 1 Achsenschnittpunkte Schnittpunkte mit x-Achse Bedingung : f(x) 0 x 2-4 0 ó x 4 ó x -2 x 2 (Auflösen nach x) oder x 2-4 0 ó (x 2)(x-2) 0 ó x -2 x 2 (Binomische Formeln) Sx1 (-2;0) Sx2 (2;0) Schnittpunkte mit y-Achse Bedingung : x 0 f(0) (0 2-4) (x-1) -4 -1 4 Sy(0;4) Grenzwerte für x- - x- lim f(x) lim x 2-4 lim x(x-4 x) lim x-4 x 1 x- x- x-1 x- x(1-1 x) x- 1-1 x oder lim f(x) lim x 2-4 lim 1-4 x 2 1 0 x- x- x-1 x- 1 x-1 x 2 lim f(x) - 1 - x- - Folgerung : lim f(x) lim f(x) - x- x- - Grenzwertverhalten an den Polstellen l-lim f(x) lim (1-h) 2-4 lim 1-2h h 2-4 -3 -h x- 1 h- 0 (1-h)-1 h- 0 -h r-lim f(x) lim (1 h) 2-4 lim 1 2h h 2-4 -3 h - x- 1 h- 0 (1 h)-1 h- 0 h Folgerung : Die Funktion f(x) x 2-4 x-1 besitzt eine Unendlichkeitsstelle mit Vorzeichenwechsel von nach - an der Stelle x 1 Ableitungen 1.Ableitung f (x) 2x(x-1)-(x 2-4)1 (x-1) 2 x 2-2x 4 (x 2-2x 1) 2.Ableitung f (x) (2x-2)(x 2-2x 1)-(x 2-2x 4)(2x-2) (x-1) 4 -6x 6 -6(x-1) -6 (x-1) 4 (x-1) 4 (x-1) 3 3.Ableitung f (x) 18 (x-1) 4 Extrempunkte notwendige Bedingung : f (x) 0 f (x) x 2-2x 4 0 (x-1) 2 ó x 2-2x 4 0 ó x1 1 1-4 nicht definiert x2 1 - 1-4 nicht definiert LL Folgerung : Es gibt keine Hoch- oder ...
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