Differenzierbarkeit

Beschreibung / Inhalt
In dem vorliegenden Dokument wird die Differenzierbarkeit von Funktionen behandelt. Es wird die Kettenregel der Ableitung hergeleitet, mit der man die Ableitung der Verkettung zweier Funktionen berechnen kann. Es wird erklärt, dass eine Funktion f(g(x)) dann differenzierbar ist, wenn die äußere Funktion f an der Stelle der inneren Funktion g(x) differenzierbar ist und die innere Funktion g(x) an der Stelle x differenzierbar ist. Es wird der Beweis für die Kettenregel gegeben und auf Grenzwertsätze hingewiesen.

Das Dokument beinhaltet keine konkreten Beispiele, sondern ist eine mathematische Ableitung der allgemeinen Formel und des Beweises. Es eignet sich somit eher für Leser mit einem fortgeschrittenen Verständnis in Mathematik.
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Auszug aus Referat
Differenzierbarkeit (#) Kettenregel Beweis: Ziel ist es, Differenzierbarkeit (s.o.) für f(g(x)) herzuleiten. Dann erhält man, daß diffbar. ist, und man sieht die gesuchte Formel. Da nach Voraussetzung f und g (auf entsprechenden Definitionsbereichen) diffbar. sind, läßt sich jeweils (#) anwenden. Nach Einsetzen, Umformen und zusammenfassen erhält man das gewünschte dann. Also: Da g in x0 diffbar., gilt wegen (#) mit mit (1) Da f diffbar gilt für die Stellen mit Da f diffb. in g(x0), setze y g(x), b g(x0)Damit erhält man dann: (2) mit (1) in (2) einsetzenMan erhält: Ausmultiplizieren liefert: Diese Funktion f(g(x)) ist diffbar., falls t(...) 0 für x x0 (Beweis über Grenzwertsätze) Nun muß man nur noch umformen: nach Def. der Ableitung Ist g in x0 und f in g(x0) diffbar., so ist in x0 diffbar., und es gilt: äußere Ableitung mal innere Ableitung ...
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